Complexe impedanties
Met de volgende calculator worden diverse eigenschappen berekend van een
seriekring bestaande uit een weerstand en een spoel of condensator.
Vul de frequentie, weerstand en spoel / condensator waarde in de geel gekleurde
velden in, en klik op
"bereken".
Hieronder wordt uitgelegd wat de calculator uitrekent.
Wat is impedantie
Impedantie is een soort weerstandwaarde welke een elektrisch component
schijnt te hebben bij een bepaalde frequentie.
De impedantie geven we aan met de letter X, de eenheid is
Ω (Ohm).
Voor een weerstand is de impedantie: X=R
Voor een spoel is de impedantie: X=2.pi.f.L
Voor een condensator is de impedantie: X= 1/(2.pi.f.C)
X = impedantie (Ω)
pi =3,1415
f =frequentie (Hertz)
L = inductie van de spoel (Henry)
C = capaciteit van de condensator (Farad)
Deze manier van weergeven van de impedantie is echter niet volledig, omdat we
de fase tussen spanning en stroom niet weergeven.
Aan de waarde van X kunnen we niet zien of we te doen hebben met een weerstand,
spoel of condensator.
Complexe impedantie
Een complexe impedantie is opgebouwd uit een reëel deel (R = weerstand) in serie
met een imaginair deel (+JX = spoel of -JX = condensator)
Een complexe impedantie geven we aan met de letter Z, en de eenheid is
Ω.
De notatie voor complexe impedantie kan zijn Z=R+JX.
In dit geval staan een weerstand R en spoel in serie.
De impedantie van de spoel is: X=2.pi.f.L
Bij een spoel loopt (bij wisselstroom) de spanning altijd 90° voor op de
stroom, dit geven we aan met +J.
De notatie voor complexe impedantie kan ook zijn: Z=R-JX.
In dit geval staan een weerstand en een condensator in serie.
De impedantie van de condensator is: X= 1/(2.pi.f.C)
Bij een condensator loopt (bij wisselstroom) de spanning altijd 90° achter
op de stroom, dit geven we aan met de -J.
Voorbeeld 1: Z1=220+J300 Ω.
In dit voorbeeld zijn een weerstand van 220 Ω
en een spoel met een impedantie van 300 Ω in
serie geschakeld.
Deze twee componenten in serie vormen één complexe impedantie.
Voorbeeld 2: Z2=470-J80 Ω
In dit voorbeeld zijn een weerstand van 470 Ω
en een condensator met een impedantie van 80 Ω
in serie geschakeld.
Voorbeeld 3: Z3=100+J0 Ω
Dit is een zuivere weerstand van 100 Ω (op
die frequentie)
Omdat het imaginaire deel nul is, kun je ook schrijven Z3=100-J0
Ω
Voorbeeld 4: Z4= 0+J60 Ω
Dit is een spoel met een impedantie van 60 Ohm, deze spoel heeft geen
serieweerstand.
Voorbeeld 5: Z5=0-J400 Ω
Dit is een condensator met een impedantie van 400 Ω,
deze condensator heeft geen serieweerstand.
De J operator
De letter J in complexe impedanties noemen we de J operator.
Bij een weerstand zijn de spanning over de weerstand, en de stroom erdoor met
elkaar in fase, er is geen faseverschil.
De impedantie van een weerstand noemen we een reële impedantie.
De impedantie van een spoel is niet reëel maar imaginair.
Bij een spoel loopt (bij wisselstroom) de spanning altijd 90° voor op de
stroom, dit geven we aan met +J gevolgd door de impedantiewaarde.
Ook bij een condensator hebben we een imaginaire impedantie.
Bij een condensator loopt (bij wisselstroom) de spanning altijd 90° achter
op de stroom, we geven dit aan met -J gevolgd door de impedantiewaarde.
Rekenen met de J operator
Als we gaan rekenen met imaginaire impedantie, gelden de volgende regels:
J = √-1
J² = -1
1/J = -J
1/-J = J
Ja + Jb = J(a+b)
J-a = -Ja
Het optellen van complexe impedanties
Als we twee complexe impedanties in serie schakelen ontstaat er een nieuwe
complexe impedantie.
Bij het optellen kunnen we de reële delen bij elkaar optellen en ook de
imaginaire delen kunnen we bij elkaar optellen.
Bijvoorbeeld: Z1 en Z2 schakelen we in serie, de som van deze twee is Z6
Z1=220+J300 Ω
Z2=470-J80 Ω
+
Z6=690+J220 Ω
De imaginaire delen tellen bij elkaar op, maar omdat bij Z2 het imaginaire
deel negatief is, wordt het in wezen afgetrokken van het imaginaire deel van Z1.
Nog een voorbeeld: Z7=Z1+Z2+Z3+Z4+Z5
Z1=220+J300 Ω.
Z2=470-J80 Ω
Z3=100+J0 Ω
Z4= 0+J60 Ω
Z5= 0-J400 Ω
+
Z7=790-J120 Ω
De som van al deze impedanties gedraagt zich op die frequentie hetzelfde als
een een weerstand van 790 Ω in serie met een
condensator met 120
Ω
impedantie.
Resonantie
Als we een condensator en spoel in serie zetten, en het imaginaire deel van
beide is even groot, dat zullen deze opgeteld nul Ω
zijn.
Dit circuit is dan in serieresonantie, we houden alleen de weerstand van beide
componenten over.
In serieresonantie heeft de impedantie van een LC kring de laagste waarde.
Bij een parallel LC schakeling zal bij resonantie, de impedantie juist de
hoogste waarde bereiken
De Q factor
Van een complexe impedantie kunnen we de kwaliteitsfactor (Q) uitrekenen.
De Q is de verhouding tussen het imaginaire deel en het reële deel van de
impedantie.
Q=X/R
Het doet er niet toe of het imaginaire deel positief of negatief is, we nemen in
de berekening alleen het getal achter de J.
De Q factor heeft geen eenheid, de waarde is altijd positief (of nul in het
geval van een pure weerstand).
Voorbeeld: Z7=790-J120 Ω heeft een Q van
0,1519
De absolute waarde van de impedantie
Als we een wisselspanning aansluiten op de complexe impedantie dan zal er een
stroom gaan lopen.
Om de waarde van deze stroom te kunnen berekenen hebben we de absolute waarde
van de impedantie nodig.
De absolute waarde geven we aan met |Z| en heeft de eenheid
Ω.
Voor een complexe impedantie Z=R±JX is de absolute waarde:
|Z| = √(R² + X²)
Voorbeeld Z7=790-J120 Ω
|Z7| = √(790² + 120²) = 799 Ω.
Als we deze impedantie aansluiten op een wisselspanning dan zal er een stroom
gaan lopen met de waarde:
I = U / |Z|
Voorbeeld: de spanning over Z7 is 10Volt RMS.
|Z7|= 799 Ohm
I=10 / 799 = 0,0125 Ampere RMS.
Faseverschil tussen spanning en stroom
De fase tussen de spanning over de complexe impedantie en de stroom erdoor
kunnen we als volgt berekenen:
Fase = arctangens (±X/R).
De eenheid is graden ( ° )
De X waarde kan zowel positief zijn, als negatief, overeenkomstig het teken
voor de J operator.
Een positieve waarde van de fase geeft aan dat de spanning voorloopt op de
stroom.
Een negatieve waarde van de fase geeft aan dat de spanning achterloopt op de
stroom.
De waarde van de fase kan variëren van +90° (spoel), via 0° (weerstand)
tot -90° (condensator).
Voorbeeld:
Bij een complexe impedantie van Z7=790-J120 Ω
bedraagt de fase tussen spanning en stroom:
fase= arctangens (-120 / 790) = -8,6°
Impedanties als vectoren
Complexe impedanties kunnen we als vectoren (pijlen) in een diagram geplaatst
worden.
De hoek met de horizontale as, geeft de fase weer tussen tussen spanning en stroom, de lengte van de vector komt overeen met de waarde van de impedantie.
|
|
|
Een complexe impedantie: Z8=4+J3 Ω De lengte van de vector Z8 is gelijk aan de absolute waarde |Z8|. In dit geval: |Z8|=√(4²+3²)= 5 Ω |
Twee complexe impedanties (Z8 en Z9) zijn in serie geschakeld. Z10 is de som van Z8 en Z9, dus Z10=Z8+Z9 |
Omzetten van serie impedantie naar parallel impedantie
Een complexe impedantie bestaande uit de serieschakeling van een weerstand en
een spoel / condensator kunnen we ook omrekenen naar een parallel schakeling van
een weerstand met een spoel / condensator.
Beide schakelingen zullen zich op die frequentie volledig hetzelfde gedragen,
maar dat geldt alleen op één frequentie waar we het circuit voor berekenen.
Een serieschakeling van weerstand en spoel wordt omgezet naar een parallel schakeling van weerstand en spoel |
|
Een serie schakeling van weerstand en condensator wordt omgezet naar een parallel schakeling van weerstand en condensator |
Het omzetten gaat als volgt,
We hebben een complexe serieschakeling Z=RS+JXS
RS en XS zijn de
seriecomponenten.
Met de volgende formules vinden we de waarden van de parallel componenten RP
en XP.
Rp = (RS²+XS²)/RS
Xp = J(RS²+XS²)/XS
Indien de complexe impedantie capacitief is, dus Z=RS-JXS
dan krijgt de waarde van XP een negatieve waarde.
Voorbeeld1:
De complexe impedantie is Z=20+J15 Ω
De parallel impedanties zijn:
RP = (20²+15²)/20 = 31,25 Ω
XP = J(20²+15²)/15 =
+J41,67 Ω
Een serieschakeling van weerstand en spoel wordt dus omgezet naar een
parallelschakeling van weerstand en spoel
Voorbeeld2:
Dezelfde componentwaarden, maar nu voor een capacitieve impedantie
De complexe impedantie is Z=20-J15 Ω
De parallel impedanties zijn:
RP = (20²+(-15)²)/20 = 31,25
Ω
XP = J(20²+(-15)²)/-15
= -J41,67 Ω
Een serieschakeling van weerstand en condensator wordt dus omgezet naar een
parallelschakeling van weerstand en condensator.